中國科學家在幾何表示論與幾何朗蘭茲領域取得新突破

近日，清華大學丘成桐數學科學中心助理教授李鵬輝與美國加州大學伯克利分校教授戴維·納德勒（David Nadler）以及麻省理工教授惲之瑋合作在幾何表示論與幾何朗蘭茲領域取得新突破。他們在對仿射赫克范疇與交換堆的研究中取得重要的、原創性成果，研究于9月刊發在國際頂尖數學期刊《數學年刊》。

論文截圖

在1950年的國際數學家大會上，克勞德·謝瓦萊提出了著名的謝瓦萊限制定理，即半單李代數上的共軛不變函數同構于嘉當子代數上的外爾群不變函數。該定理于1965年由羅伯特·施坦貝格完整證明，并推廣至半單代數群。此后，數學家們在謝瓦萊限制定理的高維推廣上取得了許多進展：解決了一般線性李代數的情形、辛李代數的情形、正交李代數的情形。

李鵬輝與合作者一致性地證明了所有約化李代數和約化代數群的謝瓦萊定理的二維推廣。該問題解決的關鍵在于如何計算交換堆上的全局函數。團隊創造性的運用朗蘭茲對偶將其轉換成關于仿射赫克范疇余中心里的惠特克層的計算。由此，團隊定義了該余中心的一個半正交分解，并使用特征層理論計算了每個分次塊，最終得到了描述惠特克層的自同態代數，即交換堆上全局函數的公式。

在證明過程中，團隊運用范疇化收縮原理、拋物特征層理論、何-聶函數的梯度流、廣義斯普林格理論等多種理論，這些方法對于任意型的約化李代數、代數群均成立。謝瓦萊定理二維推廣的證明解決了數十年來關于交換堆的即約性猜想，對理解低維流形的朗蘭茲對偶有著重要意義。

相關論文信息：https://doi.org/10.4007/annals.2024.200.2.5