數學中的分析分支是專門研究實數與復數及其函數的數學分支.它的發展由微積分開始,并擴展到函數的連續性、可微分及可積分等各種特性.這些特性,有助我們應用在對物理世界的研究,研究及發現自然界的規律. 歷史上,數學分析起源于17世紀,伴隨著牛頓和萊布尼茲發明微積分而產生的.在17、18世紀,數學分析的主題,如變分,常微分方程和偏微分方程,傅立葉分析以及母函數基本上發展于應用工作中.微積分方法成功的運用了連續的方法近似了離散的問題. 貫穿18世紀,函數概念的定義成為了數學家們爭論的主題.到了19世紀,柯西首先地通過引入柯西序列的概念將微積分建立在一個穩固的邏輯基礎之上.他還開始了復分析的形式理論.泊松、劉維爾、傅里葉以及其他的數學家研究了偏微分方程和調和分析. 在那個世紀的中葉,黎曼引入了他的積分理論.在19世紀的最后第三個年代還產生了魏爾施特拉斯對于分析的算術化,他認為幾何論證從本質上是一種誤導,并導入了極限的(ε,δ)定義.此時,數學家們開始擔心他們在沒有證明的情況下假設了實數連續統的存在.戴德金用戴德金分割構造了實數.大約在那個時候,對黎曼積分定理精煉的種種嘗試也引向了實數函數的非連續集合的“大小”的研究. 另外,到處不連續函數,連續但到處不可微函數,空間填充曲線也被創造出來.在這個背景下,若爾當發展了他的測度理論,康托爾發展了現在的樸素集合論,以及貝爾證明了貝爾綱定理.在20世紀早期,微積分用公理化集合論被形式化.勒貝格解決了測度的問題,希爾伯特也導入了希爾伯特空間以解決積分方程.賦范向量空間的思想開始流傳,到1920年代巴拿赫創立了泛函分析. 數學分析在當前被分為以下幾個分支領域：實分析是對于實值函數的微分和積分進行形式嚴謹(formally rigorous)的研究.這包括對極限,冪級數和測度的研究. 泛函分析研究函數空間和介紹例如巴拿赫空間以及希爾伯特空間的概念. 調和分析處理傅里葉級數以及其抽象. 復分析,是對從復平面到復平面的復數可微函數的研究.
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