「2020年2月28日，英國旅美物理學家、普林斯頓高等研究院教授弗里曼·戴森不幸去世，享年96歲。戴森在物理學造詣深厚，是我國物理學家楊振寧先生的同事和朋友，曾稱楊先生為“保守的革命家”。他知識豐富，思考深邃，對物理學之外也多有評論，例如他曾經稱“生物學是21世紀的科學”。
《鳥和青蛙》(Birds and Frogs)是戴森應邀為美國數學會愛因斯坦講座所起草的一篇演講稿，該演講計劃于2008年10月舉行，但因故被取消。這篇文章全文發表于2009年2月出版的《美國數學會志》（NOTICES OF THE AMS, VOLUME56, Number 2）。」
戴森,圖源：52-insight.com
撰文 | 弗里曼·戴森
翻譯 | 王丹紅
有些數學家是鳥，其他的則是青蛙。鳥翱翔在高高的天空，俯瞰延伸至遙遠地平線的廣袤的數學遠景。他們喜歡那些統一我們思想、并將不同領域的諸多問題整合起來的概念。青蛙生活在天空下的泥地里，只看到周圍生長的花兒。他們樂于探索特定問題的細節，一次只解決一個問題。我碰巧是一只青蛙，但我的許多最好朋友都是鳥。
這就是我今晚演講的主題。數學既需要鳥也需要青蛙。數學豐富又美麗，因為鳥賦予它遼闊壯觀的遠景，青蛙則澄清了它錯綜復雜的細節。數學既是偉大的藝術，也是重要的科學，因為它將普遍的概念與深邃的結構融合在一起。如果聲稱鳥比青蛙更好，因為它們看得更遙遠，或者青蛙比鳥更好，因為它們更加深刻，那么這些都是愚蠢的見解。數學的世界既遼闊又深刻，我們需要鳥們和青蛙們協同努力來探索。
這個演講被稱為愛因斯坦講座，應美國數學會之邀來這里演講以紀念阿爾伯特?愛因斯坦，我深感榮幸。愛因斯坦不是一位數學家，而是一位融合了數學感覺的物理學家。一方面，他對數學描述自然界運作的力量極為尊重，他對數學之美有一種直覺，引導他進入發現自然規律的正確軌道；另一方面，他對純數學沒有興趣，他缺乏數學家的技能。晚年時，他聘請一位年輕同事以助手身份幫助他做數學計算。他的思考方式是物理而非數學。他是物理學界的至高者，是一只比其他鳥瞭望得更遠的鳥。但今晚我不準備談愛因斯坦，因為乏善可陳。
弗蘭西斯·培根和勒奈·笛卡爾
17世紀初，兩位偉大的哲學家，英國的弗蘭西斯·培根（Francis Bacon）和法國的勒奈·笛卡爾（Rene Descartes），正式宣告了現代科學的誕生。笛卡爾是一只鳥，培根是一只青蛙。
培根（左）、笛卡爾（右）
兩人分別描述了對未來的遠景，但觀點大相徑庭。培根說：“一切均基于眼睛所見自然之確鑿事實。”笛卡爾說：“我思，故我在。”
按照培根的觀點，科學家需要周游地球收集事實，直到所積累的事實能揭示出自然的運動方式。科學家們從這些事實中推導出自然運作所遵循的法則。根據笛卡爾的觀點，科學家只需要呆在家里，通過純粹的思考推導出自然規律。為了推導出正確的自然規律，科學家們只需要邏輯規則和上帝存在的知識。
在開路先鋒培根和笛卡爾的領導之下，400多年來，科學同時沿著這兩條途徑全速前進。然而，解開自然奧秘的力量既不是培根的經驗主義，也不是笛卡爾的教條主義，而是二者成功合作的神奇之作。400多年來，英國科學家傾向于培根哲學，法國科學家傾向于笛卡爾哲學。法拉弟、達爾文和盧瑟福是培根學派；帕斯卡、拉普拉斯和龐加萊是笛卡爾學派。因為這兩種對比鮮明的文化的交叉滲透，科學被極大地豐富了。這兩種文化一直在這兩個國家發揮作用。牛頓在本質上是笛卡爾學派，他用了笛卡爾主義的純粹思考，并用這種思考推翻了渦流的笛卡爾教條。瑪麗·居里在本質上是一位培根學派，她熬沸了幾噸的瀝青鈾礦渣，推翻了原子不可毀性之教條。
在20世紀的數學歷史中，有兩起決定性事件，一個屬于培根學派傳統，另一個屬于笛卡爾學派傳統。第一起事件發生于1900年在巴黎召開的國際數學家大會上，希爾伯特（Hilbert）作大會主題演講，提出了23個未解決的著名問題，繪制了即將來臨的一個世紀的數學航道。希爾伯特本身是一只鳥，高高飛翔在整個數學領地的上空，但他聲稱，他的問題是給在同一時間只解決一個問題的青蛙們。第二起決定性事件發生在20世紀30年代，數學之鳥——布爾巴基學派（Bourbaki）在法國成立，他們致力于出版一系列能將全部數學框架統一起來的教科書。
在引導數學研究步入碩果累累的方向上，希爾伯特問題取得了巨大成功。部分問題被解決了，部分問題仍懸而未決，但所有這些問題都刺激了數學新思想和新領域的成長。布爾巴基綱領有同等影響，通過帶入以前并不存在的邏輯連貫性、推動從具體實例到抽象共性的發展，這個項目改變了下一個50年的數學風格。在布爾巴基學派的格局中，數學是包含在布爾巴基教科書中的抽象結構。教科書之外均不是數學。自從在教科書中消失后，具體實例就不再是數學。布爾巴基綱領是笛卡爾風格的極端表現。通過排除培根學派旅行者們在路旁可能采集到的鮮花，他們縮小了數學的規模。
自然的玩笑
我是一個培根學派的信徒。對我而言，布爾巴基綱領的一個主要不足是錯失了一種驚喜元素。布爾巴基綱領努力讓數學更有邏輯。當我回顧數學的歷史時，我看見不斷有非邏輯的跳躍、難以置信的巧合和自然的玩笑。大自然所開的最深刻玩笑之一是負1的平方根，1926年，物理學家埃爾文·薛定諤（Erwin Schrodinger）在發明波動力學時，將這個數放入他的波動方程。
埃爾文·薛定諤
當薛定諤開始思考如何將光學和力學統一時，他就是一只鳥。早在100多年前，借助于描述光學射線和經典粒子軌跡的相同數學，漢密爾頓統一了射線光學和經典力學。薛定諤也希望用同樣的方式來統一波動光學和波動力學。當時，波動光學已經存在，但波動力學尚未出現。薛定諤不得不發明波動力學來完成這一統一。開始時，他將波動光學作為一個模型，寫下機械粒子的微分方程，但這個方程沒有任何意義。這個方程看起來像連續介質中的熱傳導方程。熱傳導與粒子力學之間沒有可見的相關性。薛定諤的想法看起來沒有任何意義。然而，奇跡出現了。薛定諤將負1的平方根放入機械粒子的微分方程，突然間，它就有意義了。突然間，它成為波動方程而不是熱傳導方程。薛定諤高興地發現，這個方程的解與玻爾原子模型中的量化軌道相吻合。
結果，薛定諤方程準確描述了我們今天所知原子的每一種行為。這是整個化學和絕大部分物理學的基礎。負1的平方根意味著大自然是以復數而不是實數的方式運行。這一發現讓薛定諤和其他所有人耳目一新。薛定諤記得，當時，他14歲大的“女朋友”伊薩·榮格爾（Itha Junger）曾對他說：“嗨，開始時，你從來沒想過會出現這么多有意義的結果吧？”
在整個19世紀，從阿貝爾（Abel）、黎曼（Riemann）到維爾斯特拉斯（Weierstrass），數學家們一直在創建一個宏大的復變函數理論。他們發現，一旦從實數推進到復數，函數論就變得更深刻更強大。但是，他們一直將復數看作是人造結構，是數學家們從真實生活中發明的一種有用、優雅的抽象概念。他們未曾料到，他們發明的這個人工數字事實上是原子運行的基礎。他們從未想象過，這個數字最初是出現在自然界。
大自然所開的第二個玩笑是量子力學的精確線性。事實上，物理對象的各種可能狀態構成了一個線性空間。在量子力學被發明之前，經典物理總是非線性的，線性模式只是近似有效。在量子力學之后，大自然本身突然變成了線性。這對數學產生了深刻的影響。19世紀，索菲斯·李（Sophus Lie）發展了他關于連續群的精致理論（elaborate theory），以期弄清楚經典力學系統的行為。當時的數學家和物理學家對李群幾乎沒有任何興趣。李群的非線性理論對數學家來說過于復雜，對物理學家來說又過于晦澀。索菲斯?李在失望中離開了人世。50年后，人們發現大自然本身就是線性的，李代數的線性表示竟然是粒子物理的自然語言。作為20世紀數學的中心主題之一，李群和李代數獲得了新生。
索菲斯·李
大自然的第三個玩笑是擬晶體（Quasi-crystals）的存在。19世紀，對晶體的研究導致了對歐幾里德空間中可能存在的離散對稱群種類的完整列舉。人們已經證明：在三維歐幾里德空間中，所有離散對稱群僅包含3級、4級或6級的旋轉。之后，1984年，擬晶體被發現了，從液體金屬陣列中長出的真正固體物顯示了包含5重旋轉的二十面體的對稱性。與此同時，數學家羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）發現了平面“彭羅斯拼磚法”。擬晶陣列是二維彭羅斯拼磚法的三維模擬。在這些發現之后，數學家不得不擴大晶體群理論，將合金擬晶體包含其中。這是還在發展中的一個重要研究項目。
彭羅斯拼磚
大自然開的第四個玩笑是擬晶和黎曼ζ函數零點（zeros of the Riemann Zeta function）在行為的相似性。黎曼ζ函數零點令數學家們著迷，因為所有的零點都落在一條直線上，沒有人知道這是為什么。著名的黎曼猜想是指：除了平凡的例外，黎曼ζ函數零點都在一條直線上。100多年來，證明黎曼猜想一直是年輕數學家們的夢想。我現在大膽提議：也許可以用擬晶體來證明黎曼猜想。你們中的部分數學家也許認為這個建議無關緊要。那些不是數學家的人可能對這個建議不感興趣。然而，我將這個問題放到你們面前，希望你們嚴肅思考。年輕時的物理學家里奧·齊拉特（Leo Szilard）不滿意摩西的十條誡命，寫了新十誡來替換它們。齊拉特的第二條誡律說：“行動起來，向有價值的目標前進，不問這些目標是否能達到：行動是模范和例子，而不是終結。” 齊拉特踐行了他的理論。他是第一個想象出核武器的物理學家，也是第一個積極以行動反對核武器使用的物理學家。他的第二條誡律也適用于這里。黎曼猜想的證明是一個值得為之的目標，我們不應該問這個目標是否能實現。我將給你們一些這個目標可以實現的暗示。我將給數學家們一些建議，這是我在50年前成為一名物理學家之前獲得的忠告。我先談黎曼猜想，再談擬晶體。
黎曼
直到最近，純數學領域還有兩個未解決的超級問題：費馬大定理的證明和黎曼猜想的證明。12年前，我在普林斯頓的同事安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）證明了費馬大定理，如今，只剩下黎曼猜想有待證明。懷爾斯對費馬大定理的證明不只是一個技術絕技，它的證明還需要發現和探索數學思想的新領域，這比費馬大定理本身更遼闊更重要。
安德魯·懷爾斯
正因如此，對黎曼猜想的證明也將導致對數學甚至物理學諸多不同領域的深刻認識。黎曼ζ函數和其他ζ函數也類似，它們在數論、動力系統、幾何學、函數論和物理學中普遍存在。ζ函數仿佛是通向各方路徑的交叉結合點。對黎曼猜想的證明將闡明所有這些關聯。就像每一位純數學領域里嚴肅的學生一樣，我年輕時的夢想是證明黎曼猜想。我有一些模糊不清的想法，認為可以引導自己證明這個猜想。最近幾年，在擬晶體被發現后，我的想法不再模糊。我在這里把它們呈現給有雄心壯志贏得菲爾茨獎的年輕數學家們。
擬晶體存在于一維、二維和三維空間。從物理學的角度看，三維擬晶體最為有趣，因為它們棲息于我們的三維世界，可以通過實驗加以研究。從數學家的角度來看，一維擬晶體比二維和三維擬晶體更為有趣，因為它們種類繁多。數學家這樣定義擬晶體：一個擬晶體是離散點群的分布，它們的傅立葉變換是離散點頻率。或簡而言之，一個擬晶體是一個有純點譜的純點分布。這個定義包括了作為特例的普通晶體，它們是擁有周期譜的周期分布。
將普通晶體排除在外，三維中的擬晶體只有極為有限的變形，它們均與二十面體有關。二維擬晶體數目眾多，粗略地講，一個獨特的類型與平面上每個正多邊形都相關聯。含五邊 形對稱的二維擬晶體是著名的平面彭羅斯拼磚。最后，一維擬晶體有更為豐富的結構，因為它們不受制于任何旋轉對稱。就我所知，目前還沒有對一維擬晶體存在情況的全數調查。現已知，一種獨特擬晶體的存在與每個皮索特-維貢伊拉卡文數（pisot Vijayaraghavan number）或PV數對應。一個PV數是一個真正的代數整數，是有整數系數（integer coefficients）多項式方程的根，其他所有根的絕對值都有小于1的絕對值。全部PV數的集合是無限的，并有非凡的拓撲結構。所有一維擬晶體的集合都有一種結構，其豐富程度可與所有的PV數集合相比，甚至更豐富。我們并不確切地知道，一個由與PV數沒有關聯的一維擬晶體構成的大世界正等待探索。
現在談一維準晶體與黎曼猜想的聯系。如果黎曼猜想是正確的，那么根據定義，ζ函數零點就會形成一個一維擬晶體。它們在一條直線上構成了點質量（point masses）的一個分布，它們的傅利葉變化同樣也是一個點質量分布，前者的點質量位于每個素數的對數處，其傅里葉變換點質量位于每個素數的冪的對數處。我的朋友安德魯·奧德澤科（Andrew Odlyzko）發表了一個漂亮的ζ函數零點的傅利葉變換的計算機運算。這個運算精確地顯示了傅利葉變換的預期結構，在每一個素數或素數的冪的對數上有明顯的間斷性。
我的推測如下。假設我們并不知道黎曼猜想是否正確。我們從另一個角度來解決問題。我們努力獲得一維擬晶體的一個全數調查和分類。這就是說，我們列舉和分類擁有離散點譜的所有點分布。對新對象的收集和分類是典型的培根歸納活動。這也是適合于青蛙型數學家的活動。然后，我們發現眾所周知的與PV數相關的擬晶體，以及其它已知或未知的擬晶體世界。在其它眾多的擬晶體中，我們尋找一個與黎曼ζ函數相對應的擬晶體，尋找一個與其它類似黎曼ζ函數的每個ζ函數相對應的擬晶體。假設我們在擬晶體細目表中找到了一個擬晶體，其性質等同于黎曼ζ函數零點。然后，我們證明了黎曼猜想，等待宣布菲爾茨獎的電話。
這是一種妄想。對一維準晶體進行分類極其困難，其困難程度不壓于安德魯·懷爾斯花7年時間所解決的問題。但是，如果我們以培根主義者的觀點來看，數學的歷史就是駭人聽聞的困難問題被初生牛犢不怕虎的年輕人干掉的歷史。對擬晶體分類是一個值得為之的目標，甚至是可以實現的目標。這個問題的困難程度不是像我這樣的老人能解決的，我將這個問題作一個練習留給聽眾中的年輕青蛙們。
艾布拉姆·貝塞克維奇和赫爾曼·外爾
現在，我介紹我所知道的幾位著名的鳥和青蛙。
1941年，我作為一名學生來到英國劍橋大學，極其幸運地受教于俄羅斯數學家艾伯拉姆·薩莫羅維奇·貝塞克維奇（Abram Samoilovich Besicovitch）。時值第二次世界大戰，劍橋只有很少的學生，幾乎沒有研究生。盡管當時我只有17歲，而貝塞克維奇已是一位著名教授，但是，他給了我相當多的時間和關注，我們成為終身朋友。在我開始從事和思考數學時，他塑造了我的性格。他在測量理論和積分方面上了許多精彩的課程，在我們因他大膽地濫用英語而哈哈大笑時，他只是親切地笑笑。我記得僅有一次，他被我們之間的玩笑惹怒。在沉默了一會后，他說:“先生們，有5000萬英國人講你們所講的英文。有1.5億俄羅斯人講我所講的英文。”
貝塞克維奇
貝塞克維奇是一只青蛙，年輕時，因解決一個名為掛谷問題（Kakeya Problem）的初等本平面幾何問題而出名。掛谷問題是這樣描述的：讓一條長度為1的線段按360度的角度在一個平面上自由轉動，這條線掃過的最小面積是多少？日本數學家掛谷宗一(Soichi Kakeya)在1917年提出這個問題，并成為之后十年內未解決的著名問題。當時，美國數學界領袖喬治·伯克霍夫（George Birkhoff）公開聲稱，掛谷問題和四色問題是最著名的未解決問題。數學家們普遍相信，最小的面積應該是π/8,即棒在三尖點內擺線的面積（three-cusped hypocycloid）。三尖點內擺線是一條優美的三尖點曲線，它是一個半徑為四分之一的小圓圈在一個半徑為四分之三的定圓內滑動時，動圓圓周上的一個點所繪制的軌跡。長度為1的線段在旋轉時始終與內擺線相切，它的兩端也在內擺線上。一條線段在旋轉時與內擺線的三個點相切，這是一幅多么優美的畫，絕大多數人相信它一定給出了最小面積。然后，貝塞克維奇給了大家一個驚喜：他證明，對任何正∈（positive ∈）來說，這一線段在旋轉時所掃過的面積小于∈。
實際上，在掛谷問題成為著名問題之前，貝塞克維奇已經在1920年解決了這個問題，但在當時，貝塞克維奇本人甚至不知道掛谷提出了這個問題。1920年，他將解決方案用俄文發表在《彼爾姆物理和數學學會期刊》（Journal of the Perm Physics and Mathematics Society）上，這是一份不被廣泛閱讀的期刊。彼爾姆大學位于距離莫斯科東面1100公里的彼爾姆城，在俄羅斯革命之后，這個城市成為許多著名數學家的短暫避難所。他們出版了兩期《彼爾姆物理和數學學會期刊》，之后,期刊便在革命和內戰的混亂中停刊了。在俄羅斯之外，這份期刊不僅不為人知，而且不可獲取。1925年，貝塞克維奇離開俄羅斯，來到哥本哈根，并在這里獲知到他已經在5年前解決的著名掛谷問題。他將解決方案重新出版，這一次，論文用英文發表在德國著名的《數學期刊》（Mathematische Zeitschrift）上。正如貝塞克維奇所說，掛谷問題是一個典型的青蛙問題，一個與數學的其它方面沒有太多聯系的具體問題。貝塞克維奇給出了一個優雅、深刻的解決方案，揭示出它與平面中點集結構的一般定理之間的聯系。
貝塞克維奇的風格體現在他的三篇最好的經典文章中，這些文章的標題是：“平面點集之線性可測量的基本幾何性質”（On the fundamental geometric properties），它們分別發表在1928年、1938年和1939年的《數學年鑒》（Mathematische Annalen）上。在這些論文中，他證明：平面上的每個線性可測量集可被分解為有規則和無規則的分支，規則分支在每個地方幾乎都有一個切線，而無規律分支都有一個零測量投射向幾乎所有方向。簡而言之，規則分支看起來像連續曲線，而無規則分支看起來不像連續曲線。無規則分支的存在和性質與掛谷問題的貝塞克維奇解有聯系。他給我的工作之一是，在高維空間中將可測量集分為規則分支組件和無規則分支。雖然我在這個問題上一事無成，卻永遠被烙上了貝塞克維奇風格。貝塞克維奇風格是建筑學風格。他用簡單元素建造出精美、復雜的建筑結構，通常情況下有層次計劃；當大廈建成時，通過簡單的論證就可從完整結構中推導出意外的結論。貝塞克維奇的每項工作都是一件藝術品，像巴赫的賦格曲一樣精心構成。
在跟隨貝塞克維奇做了幾年的學生后，我來到美國普林斯頓，認識了赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）。外爾是一只典型的鳥，正如貝塞克維奇是一只典型的青蛙。幸運的是，在外爾退休回到位于蘇黎世的老家之前，我在普林斯頓高等研究所與他有一年的相處時間。他喜歡我，因為在這一年間，我在《數學年鑒》（Annals of Mathematics）上發表了有關數論的論文，在《物理評論》(Physics Review)上發表了量子輻射理論的論文。他是當時活在世上的少數幾位同時精通這兩領域的專家之一。他歡迎我到普林斯頓研究所，希望我像他一樣成為一只鳥。他失望了，我始終是一只固執的青蛙。盡管我總是在各種各樣的泥洞附近閑逛，我一次只能關注一個問題，沒有尋找問題之間的聯系。對我而言，數論和量子理論是擁有各自美麗的兩個世界。我不像外爾一樣去發現構建大設計的線索。
赫爾曼·外爾
外爾對量子輻射理論的偉大貢獻是他發明了規范場。規范場的想法有一段奇特歷史。1918年，在他統一廣義相對論和電磁學的理論中，他作為古典場論發明了它們，并稱之為“規范場”，因為它們關系到長度測量的不可積分性。他的統一理論立即遭到愛因斯坦的公開拒絕，經歷了這個來自高層的霹靂之后，外爾并沒有放棄他的理論，只是進入別的領域。這個的理論沒有可驗證的實驗結果。1929年，在量子理論被其他人發明后，外爾意識到與經典世界相比，他的規范場論更適合于量子世界，而他將經典場論轉化為量子場論所做的事，就是將實數轉化為復數。在量子力學中，每個電荷的量子伴隨一個有相位的復雜波函數，并且規范場涉及相位測量的不可積分性有關。規范場可以精確地與電磁勢等同，電荷守恒定律成為局部規范不變性理論的推論。
從普林斯頓回到蘇黎世4年后，外爾去世了，我應《自然》之邀為他撰寫訃告。“在20世紀開始從事其數學生涯的所有活著的數學家中，”我寫道，“赫爾曼·懷爾是在最多的不同領域做出了重大貢獻的人物之一。他堪與19世紀最偉大的全能數學家希爾伯特和龐加萊相提并論。活著的時候，他生動地體現了純數學與理論物理前沿的聯系。現在，他去世了，這種聯系中斷了，我們期望直接借助于創造性的數學想象來理解物質世界的時代結束了。”我哀傷于他的逝世，但我并不希望追隨他的夢想。我高興地看到純數學和物理學在向截然相反的方向前進。
訃告以外爾為人的概述結束：“外爾的性格是一種審美感，這主導了他對所有問題的思考。有一次，他曾半開玩笑地對我說，‘我的工作總是努力將真與美統一起來；但是，如果只能選擇其中之一，那么我選擇美。’這段話是對他個性的完美概括，表明他對自然終極和諧的深刻信念，自然的規律必將以數學美的形式呈現出來。這表明他對人類弱點的認識，他的幽默總會讓他不至于顯得傲慢自大。他在普林斯頓的朋友還記得我最后一次見他的模樣：那是去年四月在普林斯頓高等研究院舉行的春之舞會上：一個高大、和藹、快樂的人，盡情地自我享受，他明朗的身架和輕快的步伐讓人一點看不出他已經69歲。”
外爾逝世后的五十年是實驗物理和觀察天文學的黃金時代，也培根學派旅行者收集事實、青蛙們在我們生存的小片沼澤地上探索的黃金時代。在這50年中，青蛙們積累了大量的有關宇宙結構、眾多粒子和其間相互作用的詳盡知識。在持續探索新領域的同時，宇宙變得越來越復雜。不再是展現外爾數學簡潔和美麗的大設計 ，探索者發現了夸克和伽瑪射線爆等奇異事件，以及超對稱和多重宇宙等新奇概念。與此同時，在持續探索混沌和許多被電子計算機打開的新領域時，數學在變得越來越復雜。數學家發現了可計算性的中心謎團，這個猜想表示為P不等于NP。這個猜想聲稱：存在這樣的數學問題，它的個案可以被很快解決，但沒有適用于所有情形的快速算法可解決所有問題。這個問題中最著名的例子是旅行銷售員問題，即在知道每兩個城市之間距離的前提下，尋找這位銷售員在這一系列城市間旅行的最短路徑。所有的專家都相信這是猜想是正確的，旅行銷售員的問題是P不等于NP的實際問題。但沒有人知道證明這一問題的一點線索。在赫爾曼·外爾19世紀的數學世界中，這個謎團甚至還沒有形成。
楊振寧和尤里·曼寧
對鳥們來說，最近五十年是艱難時光。然而，即使在艱難時代，也有事情等著鳥們去做，他們勇敢地去解決這些事情。在赫爾曼·外爾離開普林斯頓后不久，楊振寧（Frank Yang）從芝加哥來到普林斯頓，搬進了外爾的舊居，在我這一代的物理學家中，他接替外爾的位置成為一只領頭鳥。
楊振寧
在外爾還活著時，楊振寧和他的學生羅伯特·米爾斯(Robert Mills)發現了非阿貝爾規范場（non-Abelian gauge fields）的楊-米爾斯理論，這是外爾規范場思想的一個漂亮外推。外爾的規范場是一個經典數量，滿足了乘法交換定律。楊-米爾斯理論有一個不交換的三重規范場（triplet of gauge fields）。它們滿足量子力學自旋三分量的交換法則，這是最簡單的非阿貝爾李代數A2（non-abelian lie algebra A2）的生成子。這個理論后來如此普遍，以至規范場論成為任何有限元李代數的生成子。有了這種普遍性，楊—米爾斯規范場理論為所有已知粒子和其相互作用提供了一個模型框架，這個模型就是今天粒子物理學的標準模型。通過證明愛因斯坦的重力場論適合于同樣的框架，以克里斯托夫三指標符號規取代范場的作用，楊振寧為這個理論上寫下點睛之筆。
在他1918年一篇論文的附錄里，加上1955年為慶祝他70歲生日而出版的論文選集中，外爾闡述了他對規范場理論的最后想法（這是我的翻譯）：“對我的理論最強有力的辯護應該是：規范場不變性與電荷守恒相關，正如坐標不變性與能量動量守恒的相關性。”30年后，楊振寧來到瑞士蘇黎世，參加外爾百歲誕辰慶典。楊振寧在演講中引用這段話，作為外爾提出將規范場不變性作為物理學統一原理的思想證據。楊振寧繼續說：“通過理論和實驗的發展，今天我們已經認識到：對稱性、李群和規范場不變性在確定物質世界的基本作用力中發揮了至關重要的作用。我將之稱為對稱支配相互作用基本原理。”對稱支配相互作用的觀點，是楊振寧對外爾言論的概括。外爾發現規范場不變性與物質守恒定律有密切關系。但他只能走這一步，不能走得太遠，因為他只知道可交換為阿貝爾域的規范場不變性。借助于非阿貝爾規范場產生的非平凡李代數，場之間形成的相互作用變得獨特，因此，對稱性支配相互作用。這是楊振寧對物理學的偉大貢獻。這是一只鳥的貢獻，它高高地飛翔在諸多小問題構成的熱帶雨林之上，我們中的絕大多數在這些小問題耗盡了一生的時光。
我深深敬重的另一只鳥是俄羅斯數學家尤里·曼寧（Yuri Manin），他最近出版了一本名為《數學如隱喻》（Mathematics as Metaphor）的隨筆。這本書以俄文在莫斯科出版，美國數學協會將之譯為英文出版。我為英文版書作序。在這里，我簡單引用我的序言:“對鳥們來說，《數學如隱喻》是一個好口號。它意味著數學中最深刻的概念是將一個世界的思想與另一個世界的思想聯系起來。在17世紀，笛卡爾用他的坐標概念將彼此不相干的代數學和幾何學聯系起來；牛頓用他的流數（fluxions）概念將幾何學和力學的世界聯系起，今天，我們將這種方法稱為微積分學。19世紀，布爾（Boole）用他的符號邏輯（symbolic logic）概念將邏輯與代數聯系起來；黎曼用他的黎曼曲面概念將幾何和分析的世界聯系起來。坐標、流數、符號邏輯和黎曼曲面，都是隱喻，將詞的意義從熟悉的語境拓展到陌生的語境。曼寧將數學的未來看成是對可見但仍不可知的隱喻的一個探索。最深刻的一個隱喻是數論和物理學之間在結構上的相似性。在這兩個領域中，他看到并行概念誘人的一暼，對稱性將連續與離散聯結起來。他期待一種名為數學量化（quantization of mathematics）的統一。”
《數學如隱喻》（Mathematics as Metaphor）
“曼寧不認可培根主義者的故事。1900年，希爾伯特在巴黎的國際數學家大會上提出著名的23個問題，規劃了20世紀的數學議程。根據曼寧的觀點，希爾伯特的問題是對數學中心議題的一種干擾。曼寧認為數學的重要進展來自綱領，而非問題。通常情況下，問題是通過采用老想法的新方法而得以解決。研究綱領是誕生新想法的苗圃。他認為，以一種更抽象語言重寫了整個數學的布爾巴基綱領是20世紀許多新思想的源泉。他將統一了數論和幾何學的朗蘭茲綱領視為21世紀新思想的希望之泉。解決了著名未解決問題的人會贏得大獎，但只有提出新綱領的人才是真正的先鋒。”
俄文版的《數學如隱喻》中有十個篇章在英文版中被刪除了。美國數學學會認為，英文讀者不會對這些篇章產生興趣。這種刪除是雙重不幸。第一，作為一位非凡的數學家，曼寧廣博的興趣遠遠超越了數學，但英文版讀者只能看見觀點被攔截的曼寧；第二，我們看見的是觀點被截斷的俄羅斯文化，相比較于英語言文化，俄羅斯文化沒有那么多的分門別類，它讓數學家與歷史學家、藝術家和詩人有更密切的接觸。
約翰·馮·諾伊曼
約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）是20世紀數學中另一位重要人物。馮?諾伊曼是一只青蛙，他用自己驚人的技術技能解決了數學和物理學眾多分支領域中的問題。從創立數學的基礎開始，他發現了集合論的第一個令人滿意的公理集，避免了康托（Cantor）在試圖解決無窮集和無窮數時遇到的邏輯悖論。幾年后，馮·諾伊曼的鳥類朋友庫特·哥德爾（Kurt Godel）用他的公理集證明了數學中的不可判定性命題。
約翰·馮·諾伊曼
哥德爾的定理讓鳥們對數學有了新看法。哥德爾之后，數學不再是與獨特真理概念捆綁在一起的單一結構，而是帶有不同公理集和不同真理概念的結構群島。哥德爾證明數學不可窮盡。無論選擇怎樣的公理集作為基礎，鳥們總能找到這些公理不能回答的問題。
馮·諾伊曼從數學基礎的奠定邁向了量子力學基礎的奠定。為了給量子力學一個堅實的數學基礎，他創立了一個宏大的算子環理論（theory of rings of operator）。每個可觀察量都可以由一個線性算子來代表，量子行為的特殊性可由算術代數忠實地代表。正如牛頓發明了描述經典力學的微積分，馮?諾伊曼發明了描述量子力學的算子環理論。
馮·諾伊曼在幾個領域做出了奠基性貢獻，特別是從博弈論到數字計算機的設計。在他生命的最后十年里，他深深了陷到計算機里。他對計算機的興趣如此強烈，以至決定不僅要研究它們的設計，而且還要用真正的硬件和軟件構建一臺可做科學研究的計算機。我對馮·諾伊曼在普林斯頓高等研究所的早期計算機有生動清晰的記憶。那時，他有兩個主要的科學興趣：氫彈和氣象學。夜晚，他用計算機做氫彈問題，白天，則做氣象學問題。白天，游蕩在計算機大樓里的許多人都是氣象學家，他們的領導是朱爾·查耐（Jule Charney）。查耐是一位真正的氣象學家，妥善謙卑地討論天氣變幻莫測的神秘，懷疑計算機解決這個神秘的能力。我聽過馮·諾伊曼以這個問題為主題的一次演講。如往常一樣，他充滿自信地說：“計算機將使我們能夠在任何時刻將大氣劃分為穩定域和不穩定域。我們可以預測穩定域，我們能夠控制不穩定域。”
馮·諾伊曼相信，任何不穩定域都可以通過明智而審慎的小擾動來推動，推動它向任何所期望的方向移動。小擾動可以通過攜帶煙霧發生器的飛機艦隊來實施，在擾動效果最佳的地方吸收太陽光，提高或降低局部溫度。特別是，通過盡早鑒不穩定域，我們能在颶風之初將之停止，然后在該區域氣溫上升并形成漩渦之前，降低其氣溫。馮·諾伊曼在1950年指出，只需用十年的時間就能建造足以精確診斷大氣中穩定和不穩定區域的強大計算機。一旦能夠精確診斷，我們就能在短時間內實施天氣控制。他期望能在20世紀60年代的十年中，對天氣的實際控制成為常規操作。
馮·諾伊曼當然錯了。他錯在不知道混沌（chaos）。我們現在明白，當大氣運動局部不穩定時，實際上常常是發生了混沌。“混沌”意味著剛開始聚攏在一起運動會隨著時間推進而呈指數般離散。當運動成為混沌時，它就不可預測，小擾動不可能將之推向可預測的穩定運動。小擾動通常是將之推向另一種同樣不可預測的混沌運動。所以，馮·諾伊曼控制天氣的戰略思想破產了。最終，他是一位偉大的數學家，但也是一位中庸的氣象學家。
1963年，在馮·諾伊曼逝世6年后，愛德華·勞倫茲發現氣象方程的解總是混沌。勞倫茲是一位氣象學家，通常也被認為是混沌的發現者。他在氣象學的背境中發現了混沌現象，并賦予它們一個現代化的名字。事實上，早在1943年在劍橋的一次演講中，我已聽數學家瑪麗·卡特賴特描述了同樣的現象，比勞倫茲早20年。卡特賴特1998年以97歲高齡逝世，她以不同的名稱稱呼這種現象，但他們講述的是同一現象。她是在描述一種非線性放大器振動的范德波爾方程的解中發現了這些現象。范德波爾方程在第二次世界大戰中變得重要，因為在早期的雷達系統，非線性放大器要為發報機提供動力。發報機工作不規則時，空軍就會責備制造商生產了有缺陷的放大器。瑪麗·卡特賴特被請來尋找問題。她發現問題出在在范德波爾方程。她指出，范德波爾方程的解有精確的混沌行為，這正在空軍所抱怨的。在我聽馮·諾伊曼談論天氣控制之前7年，我已經從瑪麗?卡特賴特處得知所有的混沌問題，但我沒有遠見卓識