獨創“有限元”開啟無限可能

馮康（左）與崔俊芝。

1978年10月，馮康（中）與黃鴻慈、數學院研究員張關泉合影。

馮康（右一）在學術報告會上。

2024年1月，CAX一體化算法開發驗證平臺發布。

■本報記者 韓揚眉

在黃河上游，大河穿越深邃峽谷，水聲如雄獅怒吼，洶涌澎湃。行至兩千余里，大河驟轉九十度彎，轉而向西，壯美無匹。

轉彎處，就是我國首座百萬千瓦級水電站——劉家峽水電站，其主體構筑物為我國建造的首座超百米的混凝土高壩。然而，鮮為人知的是，劉家峽水電站建成的背后有一批中國計算數學家。他們面對國家急迫需求，夜以繼日為大壩設計和建造奮戰，助推水電站如期完工。

上世紀五六十年代，以馮康（1980年當選中國科學院院士）為代表的中國科學院計算數學家們在大壩計算中獲得啟示，獨立于西方創立了有限元方法數學理論，開創了科學與工程計算方法和理論的新領域。

時至今日，有限元方法已成為研發設計類工業軟件的核心技術之一。橋隧大壩、飛機船舶、手機芯片……一個個復雜事物的誕生，都離不開有限元方法的支持。

如今，中國科學院數學與系統科學研究院（以下簡稱數學院）的一群年輕人，正站在先輩的肩膀上，努力構建新一代基礎工業軟件計算內核，啟航新型工業化征程。

1 萌芽：援手劉家峽

1958年，甘肅，黃河上游。

作為一項國家重大工程，百萬千瓦級劉家峽水電站開工，其主體結構是一座超百米的大型混凝土壩。我國自主設計、施工、建造如此巨大的水電工程，還是第一次。如果順利建成，奔涌的黃河水將在這里“歇腳”，實現發電、灌溉和防洪，造福一方百姓。

工程難度之大超乎想象，設計和建設方法都與以往不同。大壩工程進展緩慢，在1961年甚至一度停工。

最初承擔水壩工程計算攻關任務的，是1956年從中國科學院原數學研究所分出去成立的中國科學院計算技術研究所三室（現數學院計算數學與科學工程計算研究所的前身，以下簡稱三室）二組的黃鴻慈等人，馮康提供業務指導。黃鴻慈和同事們編寫的計算程序質量非常高，為大壩計算奠定了堅實基礎。

1963年2月，農歷新年剛過，寒冷依舊，劉家峽大壩設計組副組長朱昭鈞風塵仆仆地來到北京求助，希望科研人員幫助解決大壩應力計算問題。馮康等三室領導經過慎重考慮，把任務交給了崔俊芝。那一年，崔俊芝25歲，剛從西北工業大學畢業工作一年，與黃鴻慈、石鐘慈等人在一個辦公室。

用計算數學解決工程問題通常有4個步驟：建立數學模型、設計算法、編程實現、上機計算。很長一段時間，研究人員被“卡”在計算方法上。

“對方了解工程上的試荷載方法，交給我的任務是求解由此推導出的40階線性方程組，從而驗證該方法的正確性。”1995年當選中國工程院院士的崔俊芝研究員，在當時費盡九牛二虎之力，反復驗算后發現，該方法得到的線性方程組系數矩陣近乎是奇異矩陣，難以數值求解。他還嘗試了黃鴻慈研發的應力函數法程序等方法，都難以得到令工程師滿意的應力場計算結果。

造成這一困難的主要原因之一是當時的算力不夠。崔俊芝回憶，當時我國兩臺最早的計算機——“103”機、“104”機相繼誕生不久。他需要在字長39位、容量4K、運算速度每秒一萬次、內存僅2048個全字長磁芯體的“104”機上，求解超過1000個未知數的離散方程。

而劉家峽大壩的工程師們把最后的希望寄托在了中國科學院的科研人員身上，懇求他們“無論如何要想想辦法”。

“無法滿足用戶要求的時候，就應該另辟新路了。我們開始尋找新的方法。”崔俊芝說。

2 轉機：合力渡難關

上世紀60年代初，為響應“向科學進軍”的號召，中國科學院提出“任務帶學科”科研模式，即以完成國家重大需求任務為目標，開展系統研究，解決國家發展中遇到的科學問題。

重任在肩，精確計算大壩應力場，滿足工程師的要求，成為了三室的主要任務。

轉機來自馮康推薦的一篇文章和一本書。

崔俊芝至今還記得，當年，馮康在一場報告上提到普拉格、辛格1947年發表于美國《應用數學季刊》的論文，講述把微分方程寫成變分形式，用變分的原理推導差分格式，這對水壩計算有所啟發。“馮先生實際是在播撒有限元方法的種子，那次報告拉開了三室‘系統性研究’的序幕。”崔俊芝說。

與此同時，馮康倡導成立了第七研究組，即理論組，黃鴻慈任組長。馮康給黃鴻慈推薦了福賽思、沃索合著的《偏微分方程的差分方法》，書中著重講了3類偏微分方程的數值方法，給黃鴻慈提供了重要啟發。

在馮康的籌劃下，“水壩計算”小組分為3支小隊，分別從變分法、積分守恒法、去掉壩體基礎的角度開展研究。

崔俊芝在“積分守恒法”小隊，該方法從平衡方程出發，把應力與應變關系帶進拉梅方程進行計算。經過一段時間復雜而又艱難的計算，他們在1964年春節前得出第一批計算結果。驗證了格式、解法和程序的正確性后，崔俊芝很快為劉家峽大壩計算出應力場，經朱昭鈞等驗算，應力基本平衡，結果比較滿意，但在壩踵和壩趾附近誤差仍然較大，應力場的精度還不夠。

崔俊芝全力以赴編寫了我國第一個平面彈性問題有限元方法計算程序，順利計算出令設計者滿意的應力場。

那個年代，科研人員編寫程序十分困難。“104”機沒有操作系統、編譯系統、數據管理和進程管理等系統軟件，所有程序都需自己使用機器指令直接編寫出代碼串式的程序，包括輸入數據和打印結果。

在只有2048個存儲單元的內存空間，崔俊芝要求解約1000階代數方程組。他需要先扣除約500個存儲單元存放程序，在剩余約1500個存儲單元的限制下求解。這必須精打細算、精心設計迭代算法。

經過夜以繼日的調試、查錯、修改、驗算，崔俊芝利用自主編寫的有限元程序，終于為劉家峽設計組計算出十多組方案及其工況作用下的應力場。

1964年5月中旬，“劉家峽計算任務匯報會”召開。朱昭鈞及其同事、黃鴻慈等參加了會議，崔俊芝匯報了計算任務完成情況，朱昭鈞對此給予了很高評價。

1966年10月，勝利的消息從高原傳來，萬馬奔騰般奔流而來的黃河被巍峨的大壩攔腰截住，“鎖”在峽谷之中，平靜而緩和。從此，劉家峽水電站成為了亮麗的“高原明珠”。

劉家峽大壩建設成功后，中央發出明碼電報，表彰科研人員為劉家峽工程所作出的突出貢獻。

“馮先生總是高瞻遠矚，引領著計算數學及其應用研究的發展。”崔俊芝說。

3 首創：獨立于西方

馮康一直是計算數學團隊的實際學術指導和領路人。因為馮康，有限元的“種子”從劉家峽大壩的土壤中生根發芽，成為世界級學術成果。

究竟什么是有限元？馮康曾有過形象的比喻：“分整為零、裁彎取直、以簡馭繁、化難為易。”

有限元方法可謂一種特殊的“拼圖游戲”：為了解決一個復雜的大問題，例如一個大型建筑的結構分析，先把它拆解成許多小塊，這些小塊的“拼圖碎片”就是“有限元”；然后逐一分析每個“有限元”，分別建立方程；最后將它們組合成方程組并求解，最終解決問題。

實際上，我國古代“曹沖稱象”的典故、數學家劉徽采用割圓法計算圓周長，就是有限元思想的具體體現。

1943年，著名數學家柯朗發表了世界上第一篇具有有限元思想的論文，只是由于當時計算機尚未出現，該文章未引發應有的關注。

20余年后，隨著航空事業的快速發展，復雜的結構分析問題對計算方法提出了更高要求。計算機的出現，使大量復雜的有限元計算得以實現。美國波音公司工程師特納、陶普和土木工程教授克勞夫、航空工程教授馬丁合作，在航空科技領域的期刊上發表了一篇采用有限元技術計算飛機機翼強度的論文。學界一般認為，這是工程學界有限元方法的開端。

有限元方法于1960年由克勞夫在美國土木工程學會計算機會議上第一次正式提出。他發表的一篇處理平面彈性問題的論文，將應用范圍擴展到飛機以外的土木工程。

但當時的中國與西方隔絕，中國數學家難以了解有限元方法的發展前沿。

“西方的有限元方法是作為結構工程的分析方法而提出的，在中國則是從數學發展而來，中國和西方沿著不同方向獨立發展出有限元方法。”崔俊芝說。

馮康于1965年在《應用數學與計算數學》發表論文《基于變分原理的差分格式》，這是一套求解偏微分方程的數值算法，也是著名的有限元方法。

事實上，后來任香港浸會大學教授的黃鴻慈，1963年發表了中國第一篇包含有限元思想的文章。但他在多個場合提到：“我的文章已包含了證明中最重要的原理，馮先生則是在最廣泛的條件下得出最一般的結論，這只有在高深的數學基礎上才能做到，因而也具有更高層次的開創性，西方在1969年以后才得出了類似結果。”“如果有限元方法不是像數學家這樣處理，其應用就大受限制，就不能形成今天這樣在理論上、應用上被如此廣泛重視的局面。”

《基于變分原理的差分格式》既是馮康的傳世之作，也是中國學者獨立于西方創立有限元方法理論的標志。

改革開放后，馮康的論文被譯成英文，被世界知曉。原美國總統科學顧問、紐約大學柯朗數學研究所所長拉克斯在紀念馮康的文章中特別指出，馮康“獨立于西方國家在應用數學方面的發展，創造了有限元方法理論……在方法的實現及理論基礎的創立兩方面都作出了重要貢獻”。

著名數學家丘成桐曾在1998年指出：“中國近代數學能超越西方或與之并駕齊驅的有3個，陳省身的示性類、華羅庚的多復變函數和馮康的有限元計算。”巴布斯卡、利翁斯等國際知名數學家在相關文章中也都給予了高度評價。

類似的評價很快得到許多國際同行的認同。這篇傳世之作猶如暗夜里的一束火光，指引、溫暖著那群30多歲的年輕人。

位于北京中關村南街的三室很快熱鬧起來，信函和來訪絡繹不絕。為全面介紹有限元方法，馮康、崔俊芝等人創辦了講習班，近300人參加，其中不乏知名學者。崔俊芝回憶，講習班影響很大，對促進有限元方法在中國的推廣和應用發揮了很大作用。

1982年，馮康、黃鴻慈、王藎賢、崔俊芝因獨立于西方創立有限元方法獲得國家自然科學獎二等獎。

4 傳承：突圍工業軟件內核

如今，距離中國科學院計算數學團隊完成劉家峽計算任務已過去60年了。那段歷史多次被計算數學家們提起，他們不斷思考：為什么是馮康獨立于西方開創了有限元方法？如何傳承老一輩科學家的精神？

崔俊芝這樣解釋為什么馮康能成功：“他擁有深厚的跨學科知識、多學科綜合交叉思維的學術思想；不僅能深刻認識科學與工程問題的物理模型，洞察解決問題的可行路徑，還能統觀不同科學與工程問題的內涵，以高度抽象和嚴格的數學形式表述它們；再加上他全身心地投入科學研究，具有不達目標決不罷休的獻身精神，這些使得他一個接一個地做出了國際首創的研究成果。”

馮康于1993年逝世，年輕人雖未能有機會當面聆聽其教誨，但早已對馮康及劉家峽計算的故事耳熟能詳，并從中汲取著強勁的精神動力。

隨著計算機的迅猛發展，基于有限元方法的軟件已經成為輔助現代工程和裝備研發的主要軟件——計算機輔助工程CAE的核心。CAE 軟件可對工程和裝備的功能、性能與安全可靠性進行計算分析，對未來工程和裝備進行模擬仿真，證實其可用性與可靠性。

CAE與計算機輔助設計（CAD）、計算機輔助制造（CAM） 組合簡稱為CAX，是現代工業的基石、智能制造的靈魂，是我國成為制造強國的基礎性戰略支撐。

2023年7月，在中國科學院戰略性先導科技專項支持下，數學院成立了基礎軟件研究中心，圍繞工業軟件CAX一體化的計算方法和數學理論，向關鍵科學問題發起沖擊。

數學院年輕的研究員崔濤、賈曉紅等組成“馮康CAX科技攻關青年突擊隊”，承襲先輩的衣缽，構建新一代具有中國自主知識產權的CAX基礎工業軟件的數學內核。

基礎軟件研究中心讓平均年齡不超過40歲的年輕人擔當重任，考核標準也不再是發多少論文，而是產出“實在、能用”的算法和軟件。

這并不是一條坦途。但在新一代年輕人看來，“路雖遠，行則將至；事雖難，做則必成”。

馮康領銜