觀測發現一維能帶系統中的非阿貝爾拓撲荷

研究人員直接實驗觀測到了一維能帶系統中的非阿貝爾拓撲荷。圖片來源：香港大學張霜等

　　香港科技大學教授陳子亭團隊領銜，香港大學教授張霜和國防科技大學副研究員楊鏢等研究人員合作，通過構建空間和時間反演對稱保護的傳輸線網絡，直接實驗觀測到了一維能帶系統中的非阿貝爾拓撲荷，并將其清晰地映射到本征坐標架球面上。6月9日，相關論文刊登于《自然》。

　　研究人員表示，該系統與阿貝爾群描述的拓撲系統不同的是，不同拓撲相之間的轉換的路徑不再是唯一的，這使得體—邊對應更為復雜。該研究同時也提出了非阿貝尓體—邊對應，提供了邊界/疇壁態分布的全局視圖。

　　近年來，拓撲物理從根本上變革了人們的思考方式，并有望支撐變革性技術發展，如無損能量、信息傳輸，拓撲激光與雷達以及量子計算等。在不破壞某些對稱性或不關閉禁帶的情況下，兩個拓撲上截然不同的相不能絕熱地相互轉換。其中的原因是每一個拓撲相都由一個類似于陳數的全局不變量來描述。之前，該全局不變量通常是整數，即阿貝爾拓撲荷。阿貝爾群元素之間可以實現交換運算，比如，1+2=2＋1。另外，從一個拓撲態到另一個態的轉變有一個固定的路徑。比如，從1到5需要依次經歷2，3和4。因而拓撲系統的邊界態的數目可以通過體—邊對應來描述，即由邊界兩邊的體態的拓撲不變量的差值決定。

　　近年來，研究人員提出了非阿貝爾拓撲荷的概念——群元之間的乘法不可交換。當有多個（>1）帶隙纏結在一起時，系統具有豐富的非交換的辮結構。盡管有許多潛在的應用，但到目前為止還沒有在動量空間中直接觀測到非阿貝爾拓撲荷的實驗報道。

　　對于一個空間和時間反演對稱性保護的具有三條不簡并能帶的一維體系，其拓撲分類是一個四元數群，該群有五個共軛類：(+1, ± i, ± j, ± k, -1)，其中有八個元素，元素之間滿足i2 = j2 = k2 = ijk = -1。

　　具體而言，當布洛赫動量k從-π連續變化到+π，其對應的三個本征態也隨之轉動，三種不同顏色的本征態分別與三條能帶相對應。以拓撲荷+i為例，其第2,3兩條能帶（本征態）旋轉了角度π，而第1條能帶沒有轉，可以看作是旋轉軸。當旋轉軸為第2條和第3條能帶時，分別對應了+j和+k。而拓撲荷-i，-j，-k則對應旋轉角度是-π。另外，拓撲荷-1對應旋轉角度是2π，并且不同旋轉軸之間可以互相連續變換，所以它們屬于同一個拓撲分類；拓撲荷1則是拓撲平庸的情況，沒有發生旋轉。

　　研究人員隨后構造了一系列具有不同四元數拓撲荷的傳輸線網絡。實驗中，他們測量了每個節點的電壓，經過傅里葉變換，就得到了不同拓撲荷的布洛赫能帶以及本征態，觀察到了對應的本征態旋轉。

　　研究人員還測量了它們的邊界態，+i和+k分別對應一個在上帶隙和下帶隙的邊界態，+j則是上下帶隙都有一個邊界態。另外，-1的邊界態可以在兩個帶隙中的任何地方，數目為2個或者3個，實驗上測的-1的邊界態只是其中的一種情況。

　　該研究還發現，對于非阿貝尓拓撲荷這樣的一維體系，兩個系統之間的拓撲邊界態則是需要通過兩個拓撲荷之間的商來預測。例如，如果把屬于分類+i和分類+j的兩個樣品放在一起，根據群商關系+i/+j=-k，其邊界態的分布應該和-k的邊界態一致，這被稱之為非阿貝尓商準則。

　　對于這個結論，研究人員表示可以從傳統拓撲理論出發，把每個帶隙的Zak相位標出來，然后通過窮舉法，把可能的兩兩組合情況都進行驗證，發現都符合該準則。當然，這種窮舉法不是一種廣泛適用的證明方法，研究人員在文章中還從基本同倫群和Jackiw-Rebbi模型的角度進行了進一步論證。

　　該項研究實驗上首次觀測到了非阿貝尓拓撲荷，并提出和證實了非阿貝爾拓撲荷對應的體—邊對應準則，該準則可以被推廣到任意多能帶的非阿貝尓體系，為今后非阿貝尓拓撲領域的研究給出了一個建設性的指導。