在信號分析與處理中，頻譜分析是重要的工具。FFT可以將時域信號轉換至頻域，以獲得信號的頻率結構、幅度、相位等信息。該算法在理工科課程中都有介紹，眾多的儀器或軟件亦集成此功能。FFT實用且高效，相關原理與使用注意事項也值得好好學習。
01何為FFT
對于模擬信號的頻譜分析，首先得使用ADC（模擬數字轉換器）進行采樣，轉換為有限序列x（n），其非零值長度為N，經DFT（離散傅立葉變換）即可轉化為頻域。DFT變換式為：
在上式中，N點序列的DFT需要進行N2次復數乘法和N（N－1）次復數加法，運算量大。FFT是DFT的快速算法，利用DFT運算中的對稱性與周期性，將長序列DFT分解為短序列DFT之和。最終運算量明顯減少，使得FFT應用更加廣泛。
1．1FFT基于的基本理論
FFT基于一個基本理論：任何連續的波形，都可以分解為不同頻率的正弦波形的疊加。FFT將采樣得到的原始信號，轉化此信號所包含的正弦波信號的頻率、幅度、相位，為信號分析提供一個創新視覺。
例如在日常生活中有使用到的AM（Amplitude Modulation，幅度調制）廣播，其原理是將人的聲音（頻率約20Hz至20kHz，稱為調制波）調制到500kHz～1500kHz正弦波上（稱為載波）中 ，載波的幅度隨調制波的幅度變化。聲音經這樣調制后，可以傳播得更遠。在AM的時域波形（波形電壓隨時間的變化曲線），載波與調制波特征不易體現，而在FFT后的幅頻曲線中則一目了然。如下圖為1000kHz載波、10kHz調制波的AM調制信號，時域信號經FFT后其頻率能量出現在990kHz、1．01MHz頻率處，符合理論計算。
圖1 調制波10kHz、載波1000kHz的AM時域與頻域曲線
02FFT相關知識
現實生活中的模擬信號，大多都是連續復雜的，其頻譜分量十分豐富。正如在數學中常量π，其真實值是個無理數。當用3．14來替代π時，計算值與真實值就會有偏差。在使用FFT這個工具時，受限于采樣時的頻率Fs、采樣點長度N、ADC的分辨率nbit等因素的制約，所得到的信息會有所缺失與混淆。
2．1奈奎斯特區與波形混疊
FFT分析結果中，存在一個那奈奎斯特區的概念，其寬度為采樣率的一半Fs／2，信號頻譜被分成一個個相連的奈奎斯特區。日常信號分析中，大多關心的是1st奈奎斯特區的信號，即DC到Fs／2的頻段。FFT所得到的信號頻率信息，也是在1st奈奎斯特區內。其他高奈奎斯特區頻段的信號，會以不同的方式混疊到1st奈奎斯特區：
偶數奈奎斯特區會鏡像后混疊到1st奈奎斯特區；
奇數奈奎斯特區會頻移后混疊到1st奈奎斯特區。
如下圖所示，假如原有模擬信號頻譜段較寬，信號頻段的最大頻率大于采樣率Fs。在采樣率Fs下，信號頻譜的A、B、C三部分區域，分別位于1st、2st、3st奈奎斯特區。那經FFT后：
A部分信號本來就在1st奈奎斯特區，保持不變；
B部分頻譜會以Fs／2為鏡像后混疊到1st奈奎斯特區；
C部分頻譜頻偏Fs后混疊到1st奈奎斯特區。
這樣在FFT的分析結果中，1st奈奎斯特區就會重疊了A、B、C三部分區域的信號。其他奈奎斯特區頻率信號干擾到需分析的信號，就會造成常說的波形混疊問題。
就單個頻率信號而言，若原始信號的頻率為｜±KFs ±Fin｜（K為自然數），則經過FFT分析后，信號會落入在1st奈奎斯特區的Fin頻率處。
圖2 奈奎斯特區投影與波形混疊
這在時域上理解不難：在常用設備示波器的采樣率設為100MSa／s，這時輸入10MHz、90MHz、110MHz頻率的信號，采樣得到的波形是一樣的，都為10MHz。此時奈奎斯特區寬度為50MHz，信號90MHz位于2st奈奎斯特區，經Fs／s鏡像后，為10MHz；信號110MHz位于3st奈奎斯特區，經頻偏Fs后，亦為10MHz。在FFT后的數據中，這三個頻率信號的頻點都落在1st奈奎斯特區的10MHz處。
圖3 波形混疊時的時域芯片
為了解決信號混疊問題，可以采取以下措施：
提高模數轉換器ADC的采樣率Fs
這相當把1st奈奎斯特區拉寬。當滿足Fs／2大于信號頻段的最大頻率Fin＿max時，自然不會現混疊。這是采樣定理的簡單實踐。
在模數轉換器前串入抗混疊濾波器
抗混疊濾波器最常見的是低通濾波器，此濾波器可以將高于Fs／2的高階奈奎斯特區頻段信號衰減掉，只保留待測量1st奈奎斯特區頻段的信號。