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近日，南京大學固體微結構物理國家重點實驗室、現代工程與應用科學學院的陳延峰教授團隊的盧明輝教授課題組與西班牙馬德里先進材料研究所的Johan Christensen教授課題組合作共同回顧了光聲經典系統中拓撲物理的最新進展，并對該研究方向提供了開放性的展望。相關綜述以“A second wave of topological phenomena in photonics and acoustics”為題發表于《Nature》期刊上。其他參與撰寫的有南京大學現代工程與應用科學學院張秀娟副教授、日立ABB電網研究中心Farzad Zangeneh-Nejad博士和南京大學蘇州校區功能材料與智能制造研究院陳澤國副教授。
常規拓撲光學和聲學系統，例如打破時間反演對稱性的Chern絕緣體、保留時間反演對稱性并利用自旋軌道耦合實現的拓撲絕緣體、打破空間（反演、鏡面）對稱性實現的谷霍爾絕緣體、以及具有奇異能帶簡并的無能隙拓撲結構、Floquet拓撲絕緣體等，它們的拓撲性質都由基于布洛赫能帶理論的拓撲不變量進行描述和表征。然而，最近的研究表明，在非厄米、非線性、非阿貝爾或存在拓撲缺陷的非常規系統中，系統哈密頓量的本征能量或本征向量出現復數、能帶出現纏繞交織，傳統的布洛赫能帶理論不再適合表征其拓撲性質（見圖1）。隨著大量相關研究工作的涌現，拓撲物理正在經歷新一波的發展浪潮。其中，光/聲學系統得益于其高度可控的材料設計、加工及檢測平臺，光子和聲子等玻色子的非平衡態特性，正在迎來拓撲物理的新一波的發展。陳延峰教授和盧明輝教授團隊長期從事人工微結構材料拓撲物理的研究，在常規拓撲方面取得了非常豐富的研究成果，例如首次實現聲拓撲絕緣體；在非常規拓撲物理領域也積累了較為豐富的研究經驗，尤其是在非厄米拓撲方面，例如非厄米PT對稱、非厄米奇異特性、非厄米趨膚效應等。我們注意到非常規拓撲物理近年來發展迅速，意識到對其進行回顧、總結和展望的必要性和迫切性。本綜述總結了最具代表性的幾類非常規拓撲體系，包括非厄米拓撲、非線性拓撲、非阿貝爾拓撲以及拓撲缺陷等方面的最新進展，并對該領域的下一步發展提供了開放性的展望。
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圖1.（a）常規拓撲絕緣體的典型能帶結構（上），其拓撲性質通常用非平庸的貝里曲率（下）來表征。（b）與常規拓撲系統不同，一些非厄米系統中的拓撲性質需要由復能帶繞組（complex energy winding）來表征。（c）非線性系統中隨著系統輸入功率的增加，能帶結構無法準確定義，此時系統的拓撲性質可通過分析傳輸相位及其繞組行為來進行表征。（d）三葉結繩結結構（左）、和能帶節點組成的編織結構（右），可以都用基本群 (the fundamental group) 來描述，在特定的結構間還具有一定的等價性。（e）渦旋缺陷，其拓撲性質源自于實空間中的結構扭曲，無法用倒空間的能帶性質進行描述。
非厄米拓撲
非厄米性代表系統與外界存在著能量交換，這在開放系統中十分常見。非厄米系統具有復數本征值和非正交的本征向量，這導致了一些有趣的非厄米拓撲物理現象，這些現象展現出與厄米體系拓撲效應完全不同的特征。本節將對這些新奇的現象進行較為系統地評述。
與厄米系統類似，分析非厄米系統的拓撲性質依然依賴能帶和帶隙的概念。對于非厄米系統，其復平面上本征能譜的帶隙以線狀或點狀的方式分布，對應兩種基本類型：如果系統的非厄米哈密頓量的復能譜被一條基線隔開，那么就說這個系統具有線帶隙；如果存在一個復能量基點EB滿足 [H(k)?EB]≠0[H(k)表示系統哈密頓量，k代表布里淵區里的任意波矢]，那么就說這個系統具有點帶隙（具體示例見下方Box）。
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Box. 非厄米帶隙。考慮兩種周期性格子，其非厄米性分別來源于原位增益/損耗（a）或者非對稱耦合（b），前者會出現線帶隙，可進一步分為實帶隙和虛帶隙（c），后者出現特殊的點帶隙（d）。
任何具有線帶隙的非厄米哈密頓量都可以連續變換成厄米（對應實帶隙）或者反厄米（對應虛帶隙）矩陣，相應的非厄米系統繼承了其厄米系統的拓撲性質，因此這類型的非厄米拓撲不變量可以在厄米拓撲不變量的基礎上進行適當的變換后得到。不同之處在于非厄米系統中的邊界態由于非厄米作用會經歷放大或損耗 (注意，在PT對稱系統中，它們可能仍為實模式)。非厄米邊界態啟發了光聲經典波領域的一系列研究，例如利用非厄米拓撲邊界態放大的特征可以實現拓撲激光 (圖2a)。研究發現，得益于其拓撲魯棒性的優勢，非厄米拓撲邊界態在激射過程中表現出功率密度的增強和高穩定性。拓撲激光的研究不僅在光學中廣泛開展，在聲學中，人們也嘗試利用電熱聲耦合實現聲學拓撲態的增益 (圖2b)。
與線帶隙不同，零維的點帶隙具有非常特殊的本征能量繞組（見Box），這產生了非厄米系統獨有的能帶拓撲結構，并導致了許多有趣的現象，例如非厄米趨膚效應、復能帶編織、以及無帶隙的非厄米奇異特性等。非厄米趨膚效應是一種在非厄米驅動下系統所有的（或部分的）本征態局域在邊界處的效應，它的拓撲根源正是復能帶的繞組。光學和聲學系統充分發揮了其材料平臺的優勢，提出了實現非厄米趨膚效應的各種方法。例如，將時間調制應用到光纖環路，可以獲得光子的不對稱耦合從而產生非厄米趨膚效應。受這一效應調制，光波發生不對稱傳輸進而匯集到指定的邊界位置（圖2c）。
一般情況下，能帶的扭曲和編織（圖2d）與點帶隙的能量繞組相關。然而，最近的研究發現，對于具有多條能帶的非厄米系統，多帶性質使得只有小部分能帶編織具有明確定義的點或線帶隙。針對此，研究人員提出了同倫理論，利用編織群提供了更一般的非厄米能帶表征，完善了點和線帶隙的表征方法。基于這一方法，人們發現復能帶的扭曲和編織能形成編織群，甚至攜帶有非阿貝爾特征（更多討論見非阿貝爾物理小節）。
另一個非厄米拓撲的新興分支是無帶隙非厄米簡并。與厄米的簡并不同，非厄米簡并通常表現出奇異特性（exceptional characteristics）。例如，圖2e展示了將散射損耗引入到光波導陣列中時，原本系統支持的厄米外爾點變成了非厄米外爾奇異環，其上所有能量本征值和本征向量同時塌縮。結合多種晶格對稱性，非厄米簡并可以以多種形式具象，例如奇異點、奇異線、奇異環、甚至更復雜的奇異鏈等。這些奇異特征同樣屬于非厄米能帶拓撲的范疇，可以通過點/線帶隙或同倫理論來進行表征。
綜上，非厄米性與拓撲相的結合是光/聲拓撲研究中一個蓬勃發展的領域，人工結構的高度可設計性也將進一步促進其基礎和應用研究。
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圖2. 非厄米拓撲現象。（a）光學拓撲激光器。（b）聲學非厄米拓撲微腔。（c）在具有不對稱耦合和非厄米點帶隙的系統中實現非厄米趨膚效應。（d）在光學系統中，基于振幅和相位調制器實現非厄米復能帶的編織。（e）將散射損耗引入光螺旋波導陣列中，原本無損耗時的厄米外爾點擴展成了非厄米的外爾奇異環。
非線性拓撲
大多數的拓撲結構都具有一個共同的特性：系統是線性的，即服從所謂的疊加原理。然而，非線性在許多物理系統中廣泛存在，它可以導致許多有趣的效應，例如諧波生成、自聚焦和孤子傳播。系統中非線性的存在對拓撲相及其邊界態的理論理解提出了挑戰，這是因為當非線性變強時，周期性結構的模態解不能再使用類布洛赫函數來表征，以至于不能準確定義能帶結構和拓撲不變量。這些特征啟發和促進了非線性拓撲物理的廣泛發展。
與傳統的線性拓撲結構相比，非線性拓撲結構提供了有趣的可重構性。此類拓撲系統的非線性行為意味著其邊界態的動力學依賴于激發強度，通過調節外部泵浦能量強度，不僅可以控制拓撲相變，還可以控制相應帶隙內邊界態的特征。這一特質可能為下一代具有拓撲特性的可重構光學和聲學設備提供啟發。
圖3a展示了一個由非線性誘導的光學拓撲絕緣體的例子，它是基于具有交替的線性和非線性耦合光波導形成的二分方晶格。非線性耦合是通過在光波導的有效折射率之間引入失諧來實現的，這迫使一定比例的光始終留在最初激發的波導中，從而導致克爾型非線性。在線性狀態（低功率）時，晶格結構是拓撲平庸的，隨著光功率的增加，系統被驅動到高于某個功率閾值的拓撲非平庸狀態，拓撲邊界態隨之產生，如圖3b所示。除光學系統外，非線性拓撲結構在聲學、機械平臺等領域也有研究。
圖3a中描述的結構由無源元件制成，其特征對應于厄米拓撲結構。最近，非線性拓撲絕緣體的概念已擴展到非厄米系統領域，表現出如PT對稱性等有趣現象。與厄米情況類似，非厄米拓撲系統中的非線性效應可以被當作調節旋鈕來控制PT對稱性和相應的非厄米拓撲邊界態的性質。例如，研究人員基于增益和損耗波導以及界面缺陷組成非厄米SSH晶格，發現引入光學非線性可以改變波導折射率的實部，從而能夠有效控制非厄米SSH晶格的增益和損耗，使系統在PT對稱和PT破缺狀態之間切換，并伴隨著拓撲零能模式的破壞和恢復，如圖3c所示。
與非線性拓撲性質相關的另一個有趣現象是與拓撲邊界態共存的孤子波，這一現象一般發生在當非線性效應補償系統中的色散效應時。圖3d展示了基于周期性調制的光波導陣列中，在非線性存在的情況下，光學克爾效應會導致光孤子波的形成，后者可以在不改變形狀的情況下沿著拓撲結構的邊界進行傳播。拓撲邊界孤子是非線性系統中特有的模式，不能簡單地根據線性系統中的能帶拓撲來表征，其拓撲特性及分類還需進一步研究。
此外，以非平庸體極化為特征的非線性拓撲系統向更高階擴展也是一個新興方向，其中二階非線性拓撲相已經在理論上被提出，并在基于菱形kagome晶格組成的光學系統中得到了實驗證實。如圖3e所示，這類非線性二階拓撲絕緣體支持無帶隙角態，可以通過系統的輸入功率進行調控，有望在能量收集和非線性激射等方面產生應用。
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圖3. 非線性拓撲結構。（a）二維非線性光學拓撲絕緣體，其非線性是基于具有失諧折射率的耦合光波導予以實現。（b）在低功率狀態下，光衍射到晶格內部；對于高輸入功率值，系統發生拓撲相變，變成拓撲非平庸相，出現手性邊界通道。（c）基于耦合光波導的非厄米拓撲SSH模型，其中非線性控制系統的增益和損耗，使其在PT對稱和非PT對稱狀態之間切換，并伴隨著具有增益（左）和損耗（右）界面的拓撲零能模式的破壞和恢復。（d）沿Floquet 拓撲絕緣體的邊緣形成的光孤子波。（e）在二階拓撲絕緣體的拐角處形成非線性引起的角態。
非阿貝爾物理
能帶拓撲引起關注與興趣的核心在于其魯棒的邊界響應上，談及魯棒性，日常生活中能展示魯棒性的還包括繩結結構。繩結結構可由一組復雜的繩結不變量描述，在數學上可應用基本群理論對繩結余空間 (knot completement) 進行分類，而最常見的三葉節繩結群就是非阿貝爾的。非阿貝爾群以群乘法運算的非交換性為特征，在物理學中普遍存在。本節簡要評述了近年來經典波系統中關于非阿貝爾結構（包括非阿貝爾規范場、非阿貝爾幾何相、非阿貝爾拓撲荷與能帶中的繩結結構）的最新研究。
引入非阿貝爾運算的一個常見例子是在三維空間中圍繞x軸和y軸進行兩次旋轉，將此旋轉操作類比為規范操作且映射到物理量中，可以實現非阿貝爾規范場。例如，考慮希爾伯特空間正交的兩個簡并光學模式，利用含時調制與法拉第效應這兩種打破時間反演對稱性的效應去實現光學模式在希爾伯特空間的旋轉，分別對應于圖4（a）的兩個旋轉算符以實現非阿貝爾的規范場。編織是另一種有望實現容錯拓撲量子計算的非阿貝爾運算，在二維中交換兩個任意子可以模擬編織操作，當涉及三個或更多任意子時，該編織操作是非阿貝爾的。然而迄今為止，任意子的實驗觀測方面仍然存在相當大的技術挑戰。有趣的是，參數空間中兩個簡并態沿著球體八分之一表面的平行傳輸可以實現類比于任意子交換的“態的交換”，再現了編織操作。在聲學和激光直寫波導陣列中可以通過多個簡并態的絕熱演化來復現非阿貝爾幾何相，從而生成幺正群以及編織群（圖4b）。在經典系統中，單純的手征對稱保護的模式簡并是非常脆弱的，為了規避結構缺陷的影響，有望通過可調的外部場來動態地驅動簡并模式。即使沒有完美的簡并模式，多態演化也會引入非阿貝爾行為，例如非阿貝爾Thouless泵浦，其非阿貝爾性質源自三個狀態之間兩個不同泵浦循環的組合。非阿貝爾幾何相位也存在于自對偶的機械系統中，這會影響波包的傳播并導致非交換的機械響應。此外，在非厄米系統中圍繞多個奇異點的狀態交換也可以形成復能帶的拓撲編織，其中不同結點結構的能譜已經被觀察到。置換群也可以是非阿貝爾的，圍繞奇異點的閉環操作通常伴隨著態的置換，如圖4c展示了置換形成的非阿貝爾二面體群。
除了探索基于態操縱的非阿貝爾現象外，研究人員還重新審視了能帶物理中的拓撲不變量，并發現了其也可能具有非阿貝爾結構。 單個帶隙或帶節點可以用拓撲不變量來表征，對稱性的引入進一步豐富了其分類，其拓撲不變量歸為阿貝爾群。 基于阿貝爾群性質的常識認為，帶和帶隙拓撲通過簡單的加減法相互聯系，然后其中一個自然推論就是相反手征的外爾點聚在一起可以湮滅。 但是，如果考慮基于多能帶的拓撲糾纏，上面的結論就有待商榷了。
與Dirac或Weyl點相關的拓撲效應，通常以阿貝爾的拓撲不變量為特征， 然而，通過考慮具有多能帶組成的節點線金屬，研究者發現其中蘊含著非阿貝爾特性。在特定對稱性保護下，存在某規范可以使得態可用純實數描述。如此，對這些態空間進行分類可以更好地適用基本群理論現有的結論，其態空間基本群可以是阿貝爾群或非阿貝爾群，與所涉及的能帶數目有相關性（圖4d）。綜合考慮多能帶引起的非阿貝爾特性會涌現出一些不同的現象，包括一維系統中Zak相描述之外的非平庸帶隙和相應邊界態，以及二維系統中的非阿貝爾能帶節點和歐拉類（Euler Class）。在三維上，利用基本群可以預測各種可容許的節線構型，例如節點鏈、節點環和節點耳環等等，以及它們之間的互相轉化規律。比如，非阿貝爾拓撲與空間對稱性的相互作用使得成對的外爾點可能會分散或轉化為節線環。
可以看出，上述提到的非阿貝爾群，往往出現在全局系統的研究中，綜合考慮了波動系統中內稟自由度、與外場相互作用、高維參數空間與能帶空間的聯合作用等。其豐富的內在結構必將引出大量待探索的研究方向。例如，不同于著名的體邊對應關系，非阿貝爾拓撲中體-邊對應的問題尚未解決。雖然已有實驗工作暗示其體邊對應關系可能由非阿貝爾群的群乘法決定，但是這只是討論了一維情形，高維情形的推廣尚未可知，并且其嚴格的數學證明仍然是一個挑戰。
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圖4. 非阿貝爾波動物理，算符的不可交換性形成了非阿貝爾結構。（a）SU(2)群，其中含時調制和法拉第效應分別對應兩個旋轉算符。（b）編織群，其中沿著某些參數循環的狀態演化表現為編織算子。（c）置換群，其中在非厄米系統中交換的本征態表現為置換算符。（d）與阿貝爾拓撲不變量表征的雙帶模型相比，具有實本征態的多帶模型涉及到非阿貝爾能帶拓撲，圖中符號表示由非阿貝爾群元素表征的能帶節點。
拓撲缺陷
當局部缺陷被引入到拓撲晶格中，而整體的晶格對稱性并沒有被破壞時，邊界態或角態依然存在。在本節中，我們關注的不是局部缺陷，而是原本完美晶體中的拓撲缺陷。這些拓撲缺陷由于在有序結構中構成局部扭結或障礙物，因此不能通過晶格重排或連續變形來修復。通常，拓撲缺陷包含一個序列被破壞的核心和一個緩慢變化的外部區域，可以根據破壞的對稱類型來標記缺陷。例如，旋錯和位錯分別破壞了旋轉和平移晶格對稱性，并且在自然界中廣泛存在。斑馬的條紋圖案就包含這兩種缺陷類型：在其四肢周圍條紋方向的變化中可以看到旋錯（紅框），而在新條紋分裂的地方存在位錯（藍框），如圖5a所示。除此之外，還有其他典型的拓撲缺陷，比如多晶石墨烯中晶體之間的拓撲線缺陷即晶界，以及在拓撲超導體中可以將Majorana束縛態束縛在渦旋核的拓撲渦旋等。
與前文所述非常規拓撲系統類似，拓撲缺陷系統的特征也無法用常規的基于倒空間中布洛赫能帶理論進行表征。例如，超流體和拓撲超導體中的渦旋缺陷不會被有序參數連續變形破壞，具有拓撲性質，這與非平庸拓撲絕緣體中非零的貝里相具有相似的起源，然而這兩者的表征卻大不相同，蓋因前者并無周期性的概念，其拓撲性質需要用實空間繞組數來進行表征。又如，通過在周期系統中加入結構渦旋，可以打開帶隙，并產生零能態，這一零能態束縛于渦旋中心處，這就是經典的Jackiw-Rossi模型。借鑒這一拓撲渦旋的產生原理，研究人員利用3D打印制作聲學類石墨烯晶格，進一步通過引入Kekulé結構渦旋，實現了聲拓撲渦旋態，這一聲學態同樣束縛于渦旋的中心，并攜帶非平庸的角相位繞組（圖5b）。類似的方法被應用于固體聲波系統中，研究人員在鋼板上按照Kekulé結構渦旋排列螺栓，實現了基于彎曲振動模式的固體聲渦旋。在光學系統中，人們通過飛秒激光直寫技術加工波導晶格、利用電子束光刻技術在硅片上刻蝕三角穿孔，分別在通信波段上產生近紅外拓撲零能模式和狄拉克渦旋拓撲腔面發射激光器。
最近，研究人員發現，旋錯缺陷的起源與完美晶體（即沒有旋錯的晶體）的拓撲性質有關，并由此提出了體-旋錯對應關系，它將完美晶體的體拓撲性質與實空間拓撲缺陷聯系起來。這一發現表明，從廣義上講，拓撲晶體絕緣體的量子化現象不僅體現在完美晶體的邊界處（對應常規的拓撲邊界態和角態的出現），還能體現在表征旋錯缺陷旋轉和平移性質的Frank角和伯格斯矢量上，后者可以用旋錯處的分數電荷予以表征。人們發現在由四方晶格引入缺陷形成的旋錯中，其拓撲缺陷態攜帶以e/4為單位量的分數電荷；而在由六方晶格形成的旋錯中，拓撲缺陷態攜帶以e/6為單位量的分數電荷（圖5c）。這里，e表示單位電荷。值得注意的是，在光/聲學等經典系統中，電荷這一概念實際上表征的是模式的局域態密度在頻譜上的積分截斷。
除二維系統中的缺陷外，三維系統同樣存在拓撲缺陷。如圖5d所示，研究人員通過將層狀堆疊的二維拓撲絕緣體進行切割和粘合，在三維空間中構造出螺旋缺陷，其上束縛有螺旋位錯模式。除上述位錯缺陷外，其他有趣的拓撲缺陷還包括疇壁和分形結構等。拓撲缺陷的研究，作為實空間拓撲與倒空間拓撲的媒介，綜合考慮了兩種拓撲的相互作用，可以在波的局域性操控上提供新的思路。
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圖5. 拓撲缺陷。（a）斑馬條紋中的拓撲旋錯（紅框）和位錯（藍框）。（b）在聲學系統中基于Kekulé結構渦旋構造的聲學Jackiw-Rossi型拓撲缺陷。（c）基于四方和六角晶格形成的拓撲旋錯分別攜帶以e/4和e/6為單位量的分數電荷。（d）通過切割-粘合二維堆疊拓撲絕緣體形成的三維螺旋位錯。