張益唐北大演講：部分解決黎曼假設應該是對的

文 | 《中國科學報》記者 韓揚眉 實習生 沈秋月

千呼萬喚始出來。

11月8日，華裔數學家、加州大學圣塔芭芭拉分校教授張益唐線上參加由北京大學數學科學學院組織的學術報告，向北大師生及公眾解讀他的最新成果——11月4日，關于朗道-西格爾零點猜想的論文《離散均值估計和朗道-西格爾零點》正式上傳至預印本網站arXiv。

報告會正式開始之前，張益唐強調：“有人以為就是證明了黎曼假設是錯的，我再說一遍，我可沒有這個本事。我只是在一定范圍里部分地解決黎曼假設應該是對的。如果說我推翻了黎曼假設，估計沒什么人會相信。”

3天前，11月5日上午，張益唐就已向山東大學師生作了關于他最新成果的線上報告。張益唐提到，數論無論在任何時候都是很有發展前途的，“從來沒有人敢說在數學發展史上數論不重要，盡管有時候解析數論發展有些緩慢。”

據澎湃新聞報道，張益唐教授夫人孫雅玲也在當天的報告會進行了發言。她描述了張益唐對數學的“瘋狂”程度：每天早上七點多天蒙蒙亮，張益唐拄著拐杖、背著書包就走了，晚上走回家就七點了，“回到家，研究做不出來就一直嘟囔：‘零點、零點。’連我都知道零點了。我就想了個辦法，每天晚上把菜準備好，讓他回來炒菜，把注意力分散一點”。

“部分解決黎曼假設應該是對的”

大約40分鐘的學術報告，張益唐沒放PPT，只有兩塊白板，一只馬克筆，他用盡可能初等的數學語言，盡可能緩慢的語速，邊寫公式邊講述，分享了他在朗道-西格爾零點問題上的思路和方法。

張益唐手寫公式（視頻會議截圖）

張益唐提到，他花了很長時間去尋找問題的解決辦法。

“如同大海撈針一樣，我試了很多的方法，包括變分法、積分方程等，但關鍵一步都跨不過去。但是我后來發現，即使撈不到這根針，但是我已經把海底環境摸索清楚了，也不需要非得一定撈到這根針。”

“這可能是一個新的突破。”張益唐說，能做到這一步，應該說自己比較慶幸，雖然仍然使用傳統的解析數論的方法，但是利用到了極致，完全吃得很透了，才能夠找到這樣的關系。

純數學問題最美妙，也最艱難。正如張益唐所說，數論在任何時候都是有發展前途的，嚴謹治學的風格、鍥而不舍的精神非常重要，經典方法是否有效，取決于你是否能把它做到極致。

張益唐講述新方法（視頻會議截圖）

只言片語難以言明朗道-西格爾零點問題的奧妙之處。《數學文化》聯合主編、山東大學教授劉建亞向《中國科學報》解釋了朗道-西格爾零點問題的重要意義。

劉建亞表示，首先，這一問題是基本的，任何做解析數論的人都無法規避該問題。其次，這個問題是困難的，自20世紀30年代以來，這個問題的研究幾乎沒有實質性進展。最后，也是最撼動人心的是，張益唐對朗道-西格爾零點猜想的證明一旦通過了驗證，將改寫解析數論的教科書，解析數論的研究生教材要因此而改變。

究竟什么是“朗道—西格爾零點”問題？

根據山東大學新聞網介紹，素數分布一直是數論研究的中心問題。解析數論是數論中以解析方法作為其研究工具的一個分支。黎曼zeta函數和狄利克雷L-函數的各種分析性質是解析數論研究的重要理論基礎。正如黎曼zeta函數的零點分布與素數分布之間有著深刻密切的聯系，狄利克雷L-函數零點分布也在素數理論中發揮廣泛而根本性的作用，與素數分布的諸多核心問題有著深刻的內蘊聯系，如哥德巴赫猜想、孿生素數猜想等。

因為全體模D的狄利克雷特征的適當線性組合可以表示出模D算術級數的計數函數，所以狄利克雷L-函數與算術級數中的素數分布問題密切相關。對于固定的狄利克雷特征，黎曼zeta函數的解析性質大多容易推廣到相應的狄利克雷L-函數上去。

比如當特征是復特征時，其L-函數與黎曼zeta函數有類似的非零區域

但是，當特征是實原特征時，在區間

內至多可能存在一個一階實零點，這里c是一個適當的正常數。朗道（Landau）和西格爾（Siegel）等在這一問題作出過重要貢獻，這個可能存在的例外實零點被稱為朗道-西格爾零點。

如果我們相信廣義黎曼猜想，那么朗道-西格爾零點應該不存在。朗道-西格爾零點的研究非常重要，是解決很多數論問題的瓶頸。

所謂的朗道-西格爾零點猜想斷言，朗道-西格爾零點確實不存在。這是數論中長期懸而未決的重要猜想。一旦證明了這一猜想，就可以取得很多新突破，簡化和加強很多經典數論結果。張益唐在最新預印本論文里證明了，模D的實原特征L-函數在區間

內沒有實零點，這里c是絕對實效正常數。如果把這里的2024換成1，就得到原始形式的朗道-西格爾零點猜想。2024雖然大于1，但在數學意義上，與1并沒有實質性的差別。

“目前是（指數）做到了2024，我想經過一番努力應該還是可以做到幾百的，但是做到1還確實存在難度，現在達不到，這就回到原始形式的朗道-西格爾零點猜想了。”張益唐說。

事實上，在2007年，張益唐在預印本網站提交了《論朗道-西格爾零點猜想》的論文，被認為存在缺陷。而11月4日提交的論文《離散平均估計和朗道-西格爾零點》，張益唐突出了使用的研究方法和工具。

數學界將對這一成果進行同行評審

111頁的論文，重要的數學難題，數學界為之震動。

《中國科學報》記者獲悉，張益唐的導師潘承彪教授評論：“聽了益唐講的想法很清楚，這是一個重要的篩法新思想，有很大發展潛力，可實現起來很難。”

張益唐獲悉后跟夫人說：聽了潘老師的肯定，勝于一萬個人的贊揚。

《中國科學報》記者還了解到，著名數論專家Andrew Granville回復郵件表示，“I understand his plan--I have also thought about t hese things but have thought it would be impossibl e to make anything like this work.But of course Zhang is very brilliant so who knows? I do not have time to read this now but hopefully so me clever young person will。”（我理解他的計劃---我也考慮過這些事情，但我認為要把這樣的事情做好是不可能的。當然，張是非常聰明的，所以誰知道呢？我現在沒有時間看這個，但希望聰明的年輕人能夠看一看。）

張益唐這一論文在“MathOverflow”（一個面向專業數學家的問答網站）得到了熱烈的討論：

“在之前的許多論文中，都假設Siegel零不存在，但它不需要那么強。張的論文并沒有排除西格爾零點存在的可能性，但是這種排除的范圍足以覆蓋之前很多論文要求的范圍。這使得許多先前的結果從假設結果變為確定性結果，從這個角度看，論文的意義是極其重大的。”

“假設這篇論文是正確的，一個直接的結果是，每一個源自西格爾定理的無效常數現在都是有效的。當然，結果暗示的遠不止這些，但如果結果正確，這已經足夠使結果具有紀念意義了。”

“如果張的結果是正確的，將會有許多重要的后果。一個具體的結果是，它將高斯和歐拉時代最后一個開放的問題減少到有限的計算量，即每屬一類的二元二次型判別式分類。”

接下來，數學界將對這一成果進行同行評審。據了解，張益唐2007年那篇論文的評審速度很快，只用了兩三周。鑒于其重大關注度，這次也應該不會太慢。