上海科技大學數學科學研究所岳海天教授與合作者最近的兩項研究成果分別發表于《數學年鑒》(Annals of Mathematics) 和《數學新進展》(Inventiones Mathematicae)，相繼徹底解決了色散方程領域懸而未決近三十年的兩個難題：二維高階非線性薛定諤方程和三維三階非線性波方程下的吉布斯測度不變性問題。
色散偏微分方程是偏微分方程領域中最受關注的研究方向之一。上世紀80 年代末和 90 年代初菲爾茲獎獲得者J. Bourgain、美國科學院院士 J. L. Lebowitz 及其合作者們開啟了用概率方法研究非線性薛定諤方程的統計力學性質的先河。由于其豐富的物理和數學內涵，非線性薛定諤和波方程下的不變吉布斯測度 (invariant Gibbs measure) 的研究成為了色散方程領域最前沿熱點一個方向。繼90年代J. Bourgain 解決了一維和二維的三階非線性薛定諤方程以及二維高階非線性波方程的吉布斯測度的不變性問題以后，二維高階非線性薛定諤方程和三維三階非線性波方程下的吉布斯測度的不變性問題便成為了領域最亟待解決的兩大難題。 2019 年，岳海天及其合作者芝加哥大學鄧煜 、馬薩諸塞大學阿默斯特分校Andrea R. Nahmod開創性地提出了隨機平均算子方法 (見圖 1)，從而徹底地解決了上述第一個難題。歷經五年的審稿，該成果刊登于今年8月30日出版的《數學年鑒》。文中還開創性地提出了適定性理論的概率臨界猜想，其中概率臨界的概念成功地從直覺性?度引領了后續研究。這一猜想的提出是自1996 年J. Bourgain的工作以來該領域最重要的進展之一，它大力地推進了人們對隨機初值在非線性色散方程下演化結構的理解。 隨后，上述三位作者與合作者普林斯頓大學 B. Bringmann解決了前述第二個難題，即三維三階非線性波方程的吉布斯測度的不變性問題，成果發表在今年4月29日出版的《數學新進展》上。前述概率臨界猜想為解決該難題提供了深刻的洞見。在這篇長達 279 頁的論文中，岳海天與合作者創造性地運用了概率論、調和分析、數論、組合數學、偏微分方程等數學分支中的隨機量子化、擬控制理論、格點計數估計、隨機張量理論、分子圖分析等多種復雜技術工具從而證明了在吉布斯概率初值下三維三階波方程會按照既定結構演化 (見圖2 )。 《數學新進展》和《數學年鑒》均位列學界公認的“四大純數學期刊”。前者創刊于1961年，致力于發表純數學各領域的新突破，這是岳海天第二次在該期刊上發表論文。后者創辦于 1884 年，由普林斯頓大學數學系與普林斯頓高等研究院合作出版，每年僅接受約 30 篇文章，在其上發文之難不言而喻。岳海天表示：“我很幸運能和兩位出色的數學家合作，發揮各自所長，我們的文章能夠出現在《年鑒》上是莫大的榮幸，也是夢想成真。” 岳海天于2021年加入上海科技大學，目前是數學所助理教授。“海天如此年輕就有這樣的成就，我和上科大數學所為他感到非常自豪！”創始所長陳秀雄難掩興奮。“海天和他的合作者們在這一系列文章中創建的新理論，引進的新方法和提出的新猜想必將深刻的影響色散方程和相關領域的研究。” 文章鏈接： https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01254-4
圖1
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